POISSONOVO RAZMERJE: KOEFICIENT, FORMULE, VREDNOSTI, PRIMERI - FIZIČNO - 2026

Poissonovo je razmerje je dimenzijska veličina, značilna vsakega materiala. Gre za prikaz deformacije kosa materiala pred uporabo določenih sil.

Kadar kos materiala, ki je podvržen napetosti ali stiskanju, podvrže deformaciji, je količnik med prečno deformacijo in vzdolžno deformacijo ravno Poissonovo razmerje.

Slika 1. Poissonovo razmerje meri razmerje med vzdolžnim raztezanjem in prečnim zoženjem. (Pripravil Ricardo Pérez)

Na primer, gumijasti cilinder, ki je na svojih koncih pod napetostjo, se razteza v vzdolžni smeri, prečno pa se zoži. Na sliki 1 je prikazana palica, katere prvotne dimenzije so: dolžina L in premer D.

Šipka je na svojih koncih pod napetostjo T, zaradi te napetosti pa se razteza, tako da je nova dolžina L '> L. Ko pa se raztegne, se tudi njen premer zoži na novo vrednost: D '<D.

Koeficient med raztezkom (pozitivno) in zožitvijo (negativ), pomnožen s (-1), je pozitivno število med 0 in 0,5. Ta številka je tako imenovano Poissonovo razmerje ν (grška črka nu).

Formula Poissonovega razmerja

Za izračun Poissonovega razmerja je treba določiti vzdolžni in prečni deformacijo.

Vzdolžni navoj ε _L je raztežaj, deljen s prvotno dolžino:

ε _L = (L '- L) / L

Podobno je prečni deformacija ε _T radialno zoženje, deljeno s prvotnim premerom:

ε _T = (D '- D) / D

Zato se Poissonovo razmerje izračuna po naslednji formuli:

ν = - ε _T / ε _L

Povezava z modulom elastičnosti in modulom togosti

Poissonovo razmerje ν je povezano z modulom elastičnosti (ali Youngovim modulom) in modulom togosti G po naslednji formuli:

Vrednost Poissonovega razmerja za materiale

Slika 2. Nerjaveče jeklo ima Poissonovo razmerje med 0,30 in 0,31. Vir: Pixabay.

Primeri izračuna

Primer 1

Palica iz določenega plastičnega materiala ima dolžino 150 mm in krožni odsek premera 20 mm. Pri izpostavitvi sili F iz 612,25 kg-f opazimo skrajšanje 14 mm in hkrati povečanje premera palice za 0,85 mm.

Izračunaj:

a) Vzdolžni sev

b) Prečni sev.

c) Poissonovo razmerje tega gradiva.

d) Youngov modul elastičnosti, ki ustreza materialu.

e) Modul togosti za to plastiko.

Rešitev za

Spomnimo se, da je vzdolžni sev εL raztezek, deljen s prvotno dolžino:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0,0933

Upoštevajte, da je vzdolžni sev brezdimenzijski, v tem primeru pa je bil negativen, ker je prišlo do zmanjšanja njegove vzdolžne dimenzije.

Rešitev b

Podobno je prečni navoj εT radialni konus, deljen s prvotnim premerom:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Prečni pritisk je pozitiven, ker je prišlo do povečanja premera palice.

Rešitev c

Za izračun Poissonovega razmerja moramo upoštevati, da je opredeljen kot negativni količnik med prečno deformacijo in vzdolžno deformacijo:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Ne pozabite, da je Poissonovo razmerje pozitivno brezdimenzionalno število in za večino materialov znaša med 0 in 0,5.

Rešitev d

Youngov modul elastičnosti, označen s črko E, je v Hookejevem zakonu konstanta sorazmernosti. Po E je normalni napetost σL povezan z obremenitvijo εL, kot sledi:

σL = E εL

Normalni napetost je opredeljen kot količnik med normalno silo (v tem primeru vzporedno z osjo palice) in površino preseka:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

V tej vaji je sila F 612,25 kg-f, ki jo je treba pretvoriti v newtone, to je enota sile SI:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

Presek območja A je svoj del:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

Končno je običajni stres, ki se uporablja za palico:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

Za izračunavanje Youngovega modula elastičnosti rešimo za E iz Hookejevega zakona σL = E εL:

E = σL / εL = 19,098,593 Pa / 0,0333 = 204,7 MPa

Rešitev e

Modul togosti G je s to formulo povezan z Youngovim modulom E in Poissonovim razmerjem ν:

E / (2 G) = 1 + ν

Od tam se lahko rešimo za G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204,7 MPa / (2 (1 + 0,4554)) = 70,33 MPa

Primer 2

Obstaja bakreni kabel s premerom 4 mm in dolžino 1 m. Če veste, da je Youngjev modul bakra 110.000 MPa in da je njegovo Poissonovo razmerje 0,34, ocenite raztezanje in zoženje v premeru, ki ga žica doživi, ​​ko nanjo obesimo težo 100 kg-f.

Rešitev

Najprej je treba izračunati normalno natezno napetost, ki jo teža izvaja na žici, po tej formuli:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Sila F je 980 N, površina preseka:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Potem je natezna napetost:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986,000 Pa

Izračun napetosti žice

Youngov modul elastičnosti, ki ga označimo s črko E, je v Hookejevem zakonu konstanta sorazmernosti, ki običajno napetost σL navezuje na deformacijo εL:

σL = E εL

Od tod se lahko reši vzdolžni sev bakrene žice:

εL = σL / E = 77,986 MPa / 110000 MPa = 7,09 * 10 ^ -4

Izračun prečnega naprezanja

Po drugi strani pa se za poznavanje prečnega napora uporabi Poissonovo razmerje:

ν = - εT / εL

Končno je prečni pritisk:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Izračun absolutnega raztezanja kabla

Končno, da bi vedeli absolutno raztezanje kabla, je treba uporabiti naslednje razmerje:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0.709 mm

Se pravi, s to težo se je kabel komaj raztegnil 0,709 milimetrov.

Izračun zmanjšanja premera

Za pridobitev absolutnega krčenja v premeru uporabimo naslednjo formulo:

ΔD = εT * D = -2,41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9,64 * 10 ^ -4 mm = -0,000964 milimetrov.

To zoženje v premeru je tako majhno, da ga je težko videti s prostim očesom, tudi za njegovo merjenje je potreben instrument visoke natančnosti.

Reference

1. Pivo F .. Mehanika materialov. 5. Izdaja. 2010. Mc Graw Hill. 1-130.
2. Hibbeler R. Mehanika materialov. Osma izdaja. Dvorana Prentice. 2011. 3-60.
3. Gere J. Mehanika materialov. Osma izdaja. Cengage Learning. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Fizika: Načela uporabe. 6. dvorana Ed. Prentice. 238-242.
5. Valera Negrete, J. 2005. Opombe k splošni fiziki. UNAM. 87–98.