KONJUGIRAJTE BINOM: KAKO GA REŠITI, PRIMERI, VAJE - MATEMATIKA - 2026

Konjugat binomski druge binomske je tista, v kateri se razlikuje le znak delovanja. Binom, kot pove že njegovo ime, je algebrska struktura, sestavljena iz dveh pojmov.

Nekaj ​​primerov binomov je: (a + b), (3m - n) in (5x - y). In njuni konjugirani binomi so: (a - b), (-3m - n) in (5x + y). Kot je razvidno takoj, je razlika v znaku.

Slika 1. Binom in njegov konjugirani binom. Imata enake izraze, vendar se razlikujejo po znaku. Vir: F. Zapata.

Binom, pomnožen s konjugatom, pomeni izjemen izdelek, ki se široko uporablja v algebri in znanosti. Rezultat pomnoževanja je odštevanje kvadratov izrazov prvotnega binoma.

Na primer, (x - y) je binom, njen konjugat pa je (x + y). Torej, produkt dveh binomov je razlika kvadratov izrazov:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Kako rešite konjugirani binom?

Navedeno pravilo konjugiranih binomov je naslednje:

Kot primer uporabe bomo začeli s prikazom prejšnjega rezultata, ki ga lahko naredimo z uporabo distribucijske lastnosti izdelka glede na algebrsko vsoto.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Zgornje množenje smo dobili po naslednjih korakih:

- Prvi izraz prvega binoma se pomnoži s prvim izrazom drugega

- Potem prvo za prvo, za drugo za drugo

- Potem drugi od prvega od prvega od drugega

- Končno drugi od prvega do drugega od drugega.

Zdaj naredimo majhno spremembo z uporabo lastnosti komutacije: yx = xy. To izgleda tako:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Ker obstajata dva enaka izraza, vendar sta nasprotnega znaka (poudarjena v barvi in ​​poudarjena), se prekličeta in poenostavimo:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Nazadnje se uporabi, da je množenje števila samo po sebi enako kot dvig na kvadrat, tako da je xx = x ² in tudi yy = y ² .

Na ta način je razvidno, kar je bilo navedeno v prejšnjem razdelku, da je produkt vsote in razlika razlika kvadratov:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Slika 2. Vsota, manjša od razlike, je razlika kvadratov. Vir: F. Zapata.

Primeri

- Konjugirani binomi različnih izrazov

Primer 1

Poiščite konjugat (y ² - 3y).

Odgovor : (y ² + 3y)

Primer 2

Pridobite produkt (y ² - 3y) in njegov konjugat.

Odgovor: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Primer 3

Razvijte izdelek (1 + 2a). (2a -1).

Odgovor: prejšnji izraz je enak (2a + 1). (2a -1), to pomeni, da ustreza produktu binoma in njegovega konjugata.

Znano je, da je produkt binoma po konjugiranem binomu enak razliki kvadratov izrazov binoma:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Primer 4

Izraz izdelka (x + y + z) (x - y - z) napišite kot razliko kvadratov.

Odgovor: Zgoraj omenjene trinomi bomo lahko povezali s konjugirano binomno obliko, pri čemer pazljivo uporabimo oklepaje in kvadratne oklepaje:

(x + y + z) (x - y - z) =

Na ta način lahko uporabimo razliko kvadratov:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Primer 5

Izrazite proizvod (m ² - m -1). (M ² + m -1) kot razliko kvadratov.

Odgovor : prejšnji izraz je produkt dveh trinomilov. Najprej ga moramo napisati kot produkt dveh konjugiranih binomov:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Uporabljamo dejstvo, da je produkt binoma po njegovem konjugatu kvadratna razlika njegovih izrazov, kot je razloženo:

. = (m ² -1) ² - m ²

Vaje

Kot vedno začnete z najpreprostejšimi vajami in nato povečate raven zahtevnosti.

- Vaja 1

Kot izdelek napišite (od 9 do ² ).

Rešitev

Najprej izraz napišemo kot razliko kvadratov, da uporabimo to, kar je bilo prej razloženo. Tako:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Naslednji dejavnik, ki je enakovreden pisanju te razlike kvadratov kot izdelka, kot je zahtevano v izjavi:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- Vaja 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴ .

Rešitev

Faktoring izraza pomeni, da ga napišete kot izdelek. V tem primeru je potrebno predhodno napisati izraz, da dobimo razliko kvadratov.

To ni težko storiti, saj gledamo natančno, vsi dejavniki so popolni kvadrati. Na primer 16 je kvadrat 4, 9 je kvadrat 3, ⁴ pa kvadrat y ² in x ² je kvadrat x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Nato uporabimo tisto, kar že vemo: da je razlika kvadratov rezultat konjugiranih binomov:

(4x) ² - (3 in ² ) ² = (4x - 3 in ² ). (4x + 3 in ² )

- Vaja 3

Zapišite (a - b) kot produkt binomov

Rešitev

Zgornjo razliko je treba zapisati kot razlike kvadratov

(√a) ² - (√b) ²

Nato se uporabi, da je razlika kvadratov produkt konjugiranih binomov

(√a - √b) (√a + √b)

- Vaja 4

Ena od uporab konjugiranega binoma je racionalizacija algebričnih izrazov. Ta postopek je sestavljen iz odstranjevanja korenin imenovalca delnega izraza, kar v mnogih primerih olajša operacije. Uporablja se konjugirani binom, da racionalizira naslednji izraz:

√ (2-x) /

Rešitev

Prva stvar je prepoznati konjugirani binom v imenovalcu:.

Zdaj množimo števec in imenovalec izvirnega izraza s konjugiranim binomom:

√ (2-x) / {.}

V imenovalcu prejšnjega izraza prepoznamo zmnožek razlike po vsoti, za katero že vemo, da je razlika kvadratov binomov:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Poenostavitev imenovalca je:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Zdaj imamo opravka s števcem, za katerega bomo uporabili distribucijsko lastnost izdelka glede na vsoto:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

V prejšnjem izrazu spoznamo produkt binoma (2-x) po njegovem konjugatu, ki je opazen produkt, enak razliki kvadratov. Na ta način se končno dobi racionaliziran in poenostavljen izraz:

/ (1 - x)

- Vaja 5

Razvijte naslednji izdelek z uporabo lastnosti konjugacijskega binoma:

.

Rešitev

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Pozorni bralec bo opazil skupni dejavnik, ki je poudarjen v barvi.

Reference

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Uredništvo kulturne Venezolana SA
2. González J. Konjugirane binomne vaje. Pridobljeno: akademia.edu.
3. Učitelj matematike Alex. Izjemni izdelki. Pridobljeno s spletnega mesta youtube.com.
4. Math2me. Konjugirani binomi / pomembni izdelki. Pridobljeno s spletnega mesta youtube.com.
5. Konjugirani binomni produkti. Pridobljeno: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitalno. Konjugirani binomi. Pridobljeno: youtube.com.